Bombentrichter

Archiv => 1./2. Semester => Übungsaufgaben 1./2. Semester => Topic started by: mars on May 16, 2007, 11:09:47 pm

Title: Aufgabe 24.14
Post by: mars on May 16, 2007, 11:09:47 pm

Hallo,
vllt kann mir jemand helfen. ich weiß nämlich nicht was ich bei der 24.14 machen soll.
Kann mir jemand einen Ansatz dafür geben oder mal ausführlich eine der beiden
Aufgaben (a oder c) vorrechnen? Dann wäre mir echt geholfen.

Title: Aufgabe 24.14
Post by: MaBoTU on May 16, 2007, 11:37:49 pm

24.14 a)
 
- zuerst musst du die DGL auf eine Form bringen, in der der Zähler von y abhängt
und der Nenner von x:
 
x^2+x*y+y^2-x^2*y'=0 durch die höchste Potenz von x teilen, hier x^2
 
-> y'=1+y/x+y^2/x^2 nun substituierst du, wie in der Aufgabe gefordert:
 
y=x*z(x) (1)
 
-> y'=1+z(x)+(z(x))^2 (2)
 
- nun leitest du (1) ab und erhältst wegen der Kettenregel y'=z(x)+x*z'(x), was du in
(2) einsetzt
 
-> z(x)+x*z'(x)=1+z(x)+(z(x))^2 die z(x) kürzen sich
 
für z' kannste schreiben dz/dx
 
durch umsortieren bildest du folgendes Integral:
 
§ dz/(1+z^2)=§ dx/x ich weiß komisches Integralzeichen, aber wat solls :wallbash:
 
 
-> arctan z = ln/x/ + c
 
z = tan(ln/x/ + c)
 
- mit Rücksubstitution erhältst du y = x*tan(ln/x/+c)
 
-durch die Anfangsbedingung erhält man -e*tan(1)=-e*tan(ln+c) -> c=0

y=x*tan(ln(-x)), da -e^(Pi/2)

Title: Aufgabe 24.14
Post by: Zaubi on May 17, 2007, 08:52:28 am

muß mal schauen bin aber der Meinung das die Lösung: Y(x) = x tan (ln (-x) + ln (C))

Aufgrund des Anfangswertes der bei x = -e <0 gegeben ist und die Lösung bei x= 0 eine Singularität hat. Somit liegt die Lösung bei -e <=x<0. Dadurch kann ln(x) durch ln(-x) ersetzt werden.

Title: Aufgabe 24.14
Post by: MaBoTU on May 17, 2007, 11:13:47 am

@Zaubi   ...ich hab den letzten Teil vergessen:
 
-durch die Anfangsbedingung erhält man -e*tan(1)=-e*tan(ln+c)  ->  c=0
 
y=x*tan(ln(-x)), da -e^(Pi/2)

Title: Aufgabe 24.14
Post by: mars on May 17, 2007, 01:06:51 pm

hey danke für den Lösungsweg. habe auch alles verstanden, aber als ich mich dann an Aufgabe 24.14 c) gemacht habe, bin ich nach dem Integrieren auf auf ein Problem gestoßen:

lnln/z/ - ln/z/ = ln/x) + c ; wie kann ich hier nach z umstellen?

Title: Aufgabe 24.14
Post by: MaBoTU on May 17, 2007, 02:29:45 pm

Ich weiß zwar jetzt nicht, wie du darauf gekommen bist, aber ich geb dir nochmal den Lösungsweg für die c):
 
x*y'=y*(lny-lnx)
 
y'=y/x*ln(y/X)     Logarithmengesetz!
 
Substitution: y(x)=x*z(x)
                   
                   y'(x)=z(x)+x*z'(x)
 
z(x)+x*z'(x)=z(x)*ln(z(x))
 
§ dz/(2*(lnz - 1))=§ dx/x     Substitution: t=lnz  -> dt=1/2 dz
 
§ dt/(t-1)=§dx/x
 
ln/t-1/=ln/x/ + ln/c/  (da c ne Konstante ist kannste gleich mit logarithmieren)
 
ln/lnz - 1/=ln/x/+ln/c/   (jetzt alles e^)
 
lnz - 1 = c*x  (Logarithmengesetz!)
 
lnz = c*x+1   (wieder e^) gleichzeitig resubstituieren
 
y(x)=x*e^(c*x+1)

Title: Aufgabe 24.14
Post by: mermaid on June 08, 2007, 06:10:27 pm

Quote from: MaBoTU

-durch die Anfangsbedingung erhält man -e*tan(1)=-e*tan(ln+c)  ->  c=0
 
y=x*tan(ln(-x)), da -e^(Pi/2)

irgendwie kapier ich das grad nich :wallbash: