Bombentrichter
Archiv => 1./2. Semester => Vorlesungen/Übungen 1./2. Semester => Topic started by: jke on February 01, 2005, 05:02:05 pm
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Ich weis leider nicht wie ich bei dem restglied verfahre um die grenzen rauszukriegen.
die formel ist ja:
( f^(n+1)( :_xi: )/(n+1)! )* (x-a)^(n+1)
steht ja auch im binomi
bitte um hilfe thx!!!
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Ich weis leider nicht wie ich bei dem restglied verfahre um die grenzen rauszukriegen.
Die Frage versteh ich jetzt nicht so ganz.
Wenn du z. B. das Restglied eines Taylorpolynoms 2. Ordnung ermitteln solltst, brauchst du die n+1 (also 3) Ableitung der Funktion - die setzt du oben ein, unter dem Bruch steht 6, da n=2. x bleibt stehen wie in der Formel, a ist der Punkt für welchen du das Taylorpolynom best. hast. Das xi dartst du ignorieren.
Wenn du ein Intervall geg. hast, kannst du diese Grenzen einsetzen und die Werte dafür best.
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Ich dachte man setzt für das xi "ei"x ein wobei "ei" zwischen 0 und 1
aber wenn du dir da sicher bist, Danke ;)
mit grenzen meine ich : das restglied idt eine abschätzung des fehlers und der wird angegeben mit oberer und unterer grenze
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Die Integraldarstellung des Restglieds habe ich noch nicht verwendet.
Mit dem :_xi: bin ich mir nicht gerade sicher. Würde mich auch mal interessieren, welchen Zweck das erfüllt.
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Ich denke du musst dein Restglied einfach als Funktion auffassen die von dem Xi abhängt. Dann musst du halt schauen für welchen Wert von Xi (was ja zwischen x und der Entwicklungsstelle liegt), deine Restgliedfunktion maximal wird und wo minimal und dann sind das eben deine obere und untere Grenze von der Restgliedabschätzung (also halt dann ausgerechnet).... oder so ähnlich, hmm ich dachte mir wär die Sache klarer, naja wie auch immer...
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Ich weis blos nicht, was die zwei Variablen dann in der Gleichung sollen - x und :_xi: . Eine würde mir durchaus genügen.
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hat nicht einer saubere mitschriften?
der muss doch das :_xi: eigesetzt haben
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meiner meinung nach nimmt :_xi: einen Wert zwischen Null und Eins an. :huh:
Da du das Maximum des Restglieds berechnen willst, bestimmst du :_xi: immer so, dass das Restglied den größten wert hat und schreibst dann "ausgerechnetes Restglied":groesser_gleich:R
Die äußere Grenze, also die x-Stelle, die am weitesten vom Entwicklungspunkt entfernt ist(Intervallgrenze) setzt du für x ein.
Fertig ist der Salat. Serviert mit der richtigen (n+1)-Ableitung kann da nix mehr anbrennen und du erhälst die maximale Abweichung im Intervall.
So hab ich es zumindest gemacht. Funzen tut das auch :D
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also 0 :kleiner_gleich: :_xi: :kleiner_gleich: 1
oder 0x :kleiner_gleich: :_xi: :kleiner_gleich: x für und :_xi: = ax und 0 :kleiner_gleich: a :kleiner_gleich: 1
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in meiner formelsammlung (REP) steht, dass :_xi: zwischen aund x liegt wobei a entwicklungsstelle ist.
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Ich glaub wir vermischen da grade zwei unterschiedliche Restgliedformeln, weil es gibt ja bei Lagrange denk ich so ein Theta zwischen 1 und 0 und bei Schlömilch und Konsorten ein Xi zwischen x und Entwicklungsstelle.
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wie sah denn das von schlömilch aus?
in meiner formelsammlung (REP) steht, dass :_xi: zwischen aund x liegt wobei a entwicklungsstelle ist.
das is lagrange
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Jetzt versteh ich gar nichts mehr.
nach Lagrange:
Für das x setzte ich den Wert ein, an welcher ich die Abweichung des Taylorpolynoms von der Originalfunktion best. möchte, oder?
Was setzte ich nur für :_xi: ein? Auch x oder max[a;x] oder wird dafür nix eingesetzt, wenn man die Abweichung für einen Wert bestimmt?
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für :_xi: Xo und für x die stelle an der der fehler berechnet werden soll
also grenzen des intervalls oder so (hatte ich heute in ma Übung)
alle angaben ohne gewähr :D
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Hab nochmal in der Übung nachgefragt.
Vergesst das :_xi: und nehmt :-theta:. Wie oben schon erwähnt, befindet sich das :_xi: zwischen x und a.
Viel komfortabler funktioniert das mit :-theta: Das befindet sich nämlich zwischen Null und Eins.
In der Restglieddarstellung setzt man für x in der abgeleiteten Funktion einfach
x0+:-theta:(x-x0) ein. :-theta: kann im Zähler und im Nenner unterschiedliche Werte annehmen. Man bestimme es so, dass das Restglied maximal wird.
Also klaro? Wenn nicht, nochmal melden!
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hubidoo hat glaubsch recht!
Ich denks mir so:
schreibt mal die LAGRANGE form so auf:
Rn(x) = f^[n+1](:_xi:) * ((x-x0)^n+1) / (n+1)!
Meistens hat man aus der Aufgabe das Intervall gegeben in dem man den GRÖßTEN Fehler bestimmen soll!
Das Intervall fängt immer an der Aproximationsstelle (Entwicklungsstelle) x0 an! An dieser Stelle ist der Fehler des Tn-Modells gleich 0!!!!
Wenn ihr das Überprüfen wollt müsst ihr einfach mal x=x0 einsetzen!
Daraus wird Rn(x)=0 { x-x=0 }.
Bewege ich mich jetzt aber von x0 weg, so entsteht durch das Modell ein Fehler!
Ansonsten bräuchte man ein Taylorpolynom :unendlich: -ten Grades !!!!!
(nur zur Vorstellung)
Jetzt lege ich mir also einen Bereich UM MEINE Entwicklungsstelle x0 fest. In diesem Bereich möchte ich jetzt wissen wo der MAXIMALE Fehler ensteht!
ES IST NÄMLICH NICHT IMMER GESAGT, DASS DER FEHLER EINER STELLE, DIE WEITER VON x0 WEG IST AUCH AUTOMATISCH GRÖßER IST! ALLERDINGS IST PRINZIPIELL DER FEHLER GRÖßER UM SO WEITER MAN SICH VON x0 ENTFERNT!
(sieht man ja auch an der gleichung - allerdings kommt es noch auch die Ableitung an!)
Wenn ich jetzt also den maximalen Fehler bestimmen möchte, und ihn in Form von Rn(x) aufschreiben möchte, dann muss ich folgendes tun:
-schauen, an welcher Stelle :_xi: die [n+1]-te Ableitung von f(x) am größten ist!
(denn dort ist natürlich auch der Größte Fehler! - Eigentlich bräuchte ich dazu die [n+2] Ableitung von f(x), in der ich den Anstieg [n+2] gleich Null setze und mein :_xi: erhalte...meistens ist jedoch ersichtlich wann f^[n+1](:_xi:) am größten ist --> zum beispiel ist max(sin(:_xi:)^[n+1])=1 !!! - klar oder ?? -{daher auch das mit 1 und 0 und so....->Vorlesung})
-dann muss ich meine Aüßerste Intervallgrenze betrachten -> (x-x0)^n+1 !!!
(denn um so weiter ich von von x0 wegkomme , um so größer der Fehler: laut (x-x0)^n+1 )
Zusammengefasst sind also ZWEI SACHEN ZU BEURTEILEN UM DEN FEHLER EINSCHÄTZEN ZU KÖNNEN - in Worten:
-Die (n+1) Ableitung von f(x) - IRGENDWO IM FEHLERINTERVALL ist sie - natürlich abhängig von f(x) - MAXIMAL -> daraus die "Stelle" :_xi: !!!!!!!!
-Und dann noch der Abstand der Fehlerstelle von dem Ausgangspunkt der Modellentwicklung - dem sogenannten Entwicklungspunkt!
Der MAXIMALE Fehler ist also: !!! max( Rn(x) ) !!!
Und wenn man nun beide Faktoren Zusammenfasst führt man:
:-theta: ein und bezieht :-theta: auf den Abstand:
:-theta: = ( :_xi: - x0 ) / ( x - x0 ) -------> siehe Bärwolff Seite 115!!!
also ersetzen wir:
:_xi: mit [ x0 + :-theta: * ( x - x0 ) ]
-------> und dies ist das, was hobidoo gemeint hat!
Da sich :-theta: auf das Intervall bezieht gilt jetzt:
0 :kleiner_gleich: :-theta: :kleiner_gleich: 1 !!!!!!!!!!
damit bekommt man jetzt durch einsetzen viel leichter den gesuchten Wert:
max( Rn(x) )
Man kann das ganze natürlich auch Umgekehrt machen!
Zum Beispiel sagen ich möchte irgendeinen Wert von f(x) an der Stelle x - DURCH DAS AN DER STELLE X0 ENTWICKELTE MODELL!!!! mit dem PC auf 0,00001 Genauigkeit bestimmen!
Also setze ich 0,00001 :groesser_gleich: max( Rn(x) ) und rechne mir durch einsetzen n aus !!!!!
Also weiß ich welches Tn(x) - Polynom ich dem rechner auszurechnen geben muss um meine Bedingung zu erfüllen!
Damit lässt sich unter anderm zum Beispiel ruck zuck ein Progrämmchen schreiben, mit dem ich e^1 durch ein Taylerpolynom auf (z.B.) 10 Stellen Genauigkeit genau berechnen kann!
:-) So ich geh jetzt pennen!
:blink: viel spass beim raffen...
(ich hoffe ich hab nix falsch)