Author Topic: Klausur (Read 4638 times)

Doc · « **on:** August 12, 2008, 04:48:31 pm »

Hey Leute!
Habe mal eine Frage zur jetzt anstehenden Mathe I Klausur
Sitze gerade über einer Aufgabe, bei der ich die allg. Lösung eines DGL-Systems bestimmen soll. (vgl. Klausur 2005/1 Grossmann). Ist alles in allem kein Problem, allerdings habe ich als Lösung der charakteristischen Gleichung zwei komplexe Lösungen raus. Ich habe mit den beiden komplexen Lösungen die dazugehörigen Eigenvektoren gebildet. Diese sind allerdings komplex!!!
Meine Frage ist nun, ob man diese komplexen Eigenvektoren noch in reelle überführen soll, oder nicht??? (Aufgabe: Bestimmen sie die allgemeine Lösung)
Danke

DIGIT · « **Reply #1 on:** August 12, 2008, 06:59:50 pm »

Nu dann schieb mal die Koeffizientenmatrix rüber - aber so weit ich mich erinnern kann war nie und nimmer was komplex. (Zumindest nicht bei Systemen)

(1) (A - lambda E) bilden
(2) Determinante bilden (Sarrus nur für 3x3, ggf. geschickt nach Zeile/Spalte entwickeln)
(3) Proberechnen
(4) Nullstellen bestimmen
(5) Proberechnen
(6) EVs zu EWs
(7) analog (3,5)

LG
DIGIT
lim->oo

Doc · « **Reply #2 on:** August 12, 2008, 07:30:01 pm »

Moin!
Also die Matrix ist:
2 -4 0
1 2 0
1 0 2
Ich habe als Lösung der charakteristischen Gleichung: 2, 2+2i und 2-2i
Dann damit die Eigenvektoren:
0
0
0

2i
1
1

-2i
1
1

Also habe ich zwei komplexe Eigenvektoren.
Zusatz:
Kann es sein, dass der Eigenvektor der Nullvektor ist???

DIGIT · « **Reply #3 on:** August 12, 2008, 07:50:07 pm »

Erste Teilantwort: Ein Nullvektor ist per Definition kein Eigenvektor!!!
Du suchst mit dem ganzen Determinantenzeux ja die Nichttrivialen Lösungen.

Teilantwort B:
in Arbeit
(1) Die gerechneten EWs sind falsch; richtig gerechnet kommt man aber ebenso auf ein komplexes Ergebnis.
-> Determinante nach der dritten Zeile, dritte Spalte entwickeln; also (2-l) * [(2-l)² +4]

(2) Wenn oben erste Zeile, zweite Spalte eine 4 steht (und keine -4) dann ist's ein schönens Beispiel und geht wie Butter.
Bitte prüf das noch mal.
LG
DIGIT
lim->oo

Doc · « **Reply #4 on:** August 12, 2008, 08:32:57 pm »

Häääh! Warum sind den die Eigenwerte falsch???
(2-l) * [(2-l)² +4] = 0 ergibt doch 2, 2+2i und 2-2i
Bin mir zu 100 % sicher!
Aber zurück zu meiner Frage:
Sollen wir in der Klausur dann die komplexen Eigenvektoren noch in reelle umwandeln, d.h. über e^(i*x) = cosx + i*sinx (Euler'scher Ansatz) oder reicht es in der allgemeinen Lösung die komplexen Eigenvektoren als Lösung anzugeben???

DIGIT · « **Reply #5 on:** August 12, 2008, 10:03:24 pm »

Quote from: Doc

Häääh!

(1) Tut mir Leid, natürlich mein Fehler. 2*2 ist natürlich 4.
(2) Mit den EWs und EVs setzt Du in die Lösungsformel für komplexen Fall ein - und da ergibt sich automatisch für die komplexen EVs der cos und der sin-Anteil (und letztlich der Term reellen EV/EW).

Ansonsten, ja richtig, wenn die Formel nicht zur hand, dann die "reelle" nehmen und in sin und cos auftrennen.

FREI · « **Reply #6 on:** August 13, 2008, 08:18:57 pm »

Bei der Klausur August 2007 (Grossmann): Kann es sein, dass die vorgegebene zu beweisende Formel in 4 b) falsch ist? Für die 1. Ableitung würde die nicht passen.
Wie bringt man den Beweis dann aufs Papier - Kann man das "irgendwie" herleiten, beispielhaft oder muss man sowas ganz formell mit vollständiger Induktion etc. beweisen?

Doc · « **Reply #7 on:** August 13, 2008, 08:34:45 pm »

Moinsen!
Also ich habe das mit der vollständigen Induktionn gemacht und am Ende passt das!
Brauchst du denn noch die Lösung???

FREI · « **Reply #8 on:** August 13, 2008, 08:40:25 pm »

Ach ne, ich kann mich dunkel erinnern an diese langen Terme. Wenn das so ist, werd ich das wohl bleiben lassen... Wie war der Ansatz für die vollständige Induktion - Beispiel für k= 1 und 2 und anschliessend irgendeine Formel? Sowas ham wir doch überhaupt nicht gemacht, wird das überhaupt bewertet?

Aber rechne doch mal für k=1, da ist die Ableitung 3/4 aber laut Formel muss da 9/16 stehen...

Lösung wär net schlecht.

Doc · « **Reply #9 on:** August 13, 2008, 09:06:20 pm »

Also versuche das einfach mal:
1. Vorraussetzung: die Behauptung gilt für k=1
f'(x)= (3/4) / ((1-x)^(3/4)) vgl. Kettenregel

2. Annahme: Die oben genannte gilt für irgendein k
fk(x)= (3/4*(3/4+1)*(3/4+2)* ... *(3/4+k-)) / ((1-x)^(3/4+k)) d.h. die kte Ableitung bilden, durch Ausprobieren oder mehrmaliges ableiten die o.g. Reihe herausfinden

3. Induktionsschritt, d.h. durch die o.g. Annahme soll es auch für k+1 gelten
fk+1(x)=(fk(x))'=(-3/4*(3/4+1)*(3/4+2)* ... *(3/4+k-1)*(3/4+k)) / ((1-x)^(3/4+k))
wieder durch die Kettenregel ableiten

4. Im folgenden clever umformen, d.h.
fk+1(x)= (3/4*(3/4+1)*(3/4+2)* ... *(3/4+k)) / (1-x)^(3/4+k+1))
= (3/4*(3/4+1)*(3/4+2)* ... *(3/4+(k+1)-1)) / (1-x)^(3/4+k+1))
Die letzte Gleichung ist wiederrum die in der Aufgabe angegebene Lösung
Damit q.e.d!!!!!

Muss zugeben, dass ich das auch nur mit fremder Hilfe hinbekommen habe. Aber kan zum Glück in den alten Klausuren bisher nur einmal dran!
Bis denn

FREI · « **Reply #10 on:** August 13, 2008, 09:22:01 pm »

Für diesen speziellen Fall schon. Aber man liest doch des öfteren: man beweise, man zeige (Aufgabe 2. d z.B.). Da bin ich schon schwer am nachdenken, ob man dann (wenn es so umfassend formell sein soll) nicht doch erstmal andere Aufgaben macht und das bis ganz zum Schluss aufhebt. Hast du Musterlösungen für die Klausuren irgendwoher? - Bei der vom Fischer stand es ja wenigstens mit drauf.

zu Aufgabe 6 a) - hast du da den Ansatz? Das sieht ja aus, als wären da alle möglichen Formen einer DGL versteckt..

Was ich mich überhaupt mal wieder frage - Sind wir die einzigen beiden FS, die Mathe mitschreiben??

mfG Frank

Doc · « **Reply #11 on:** August 13, 2008, 09:40:04 pm »

Habe die Klausuren einfach durchgerechnet und eine Musterlösung habe ich nicht, aber wenn du Lösungen brauchst können wir unsere beiden gerne vergleichen.
Ich persönlich werde solche Aufgabetypen auch auslassen, obwohl die vollständige Induktion nur einmal dran kam und ichn habe bestimmt gut 8 Klausuren durchgerechnet.
Meistens muss man bei den komplexen Zahlen zeigen, ob etwas gilt. Dort muss man aber einfach nur umformen.

Zu 6 a) Das hatten wir bei der Gilberst zwar nicht, aber egal.
Definition: Eine DGL heißt exakt, wenn gilt:

g(x,y)dx + h(x,y)dy = 0
mit
partiell g(x,y) nach y abgeleitet = partiell h(x,y) nach x abgeleitet

Anhand von 6a) erklärt:

1.) y' = dy/dx in die gegebene DGL einsetzen:

2.) y^2-(2x+1)*e^(2x) + 2xy*(dy/dx) = 0

3.) bei 2. genannte DGL mit dx multiplizieren
y^2*dx-(2x+1)*e^(2x)*dx + 2xy*dy = 0

4.) Jetzt erkennt man, dass
g(x,y) = y^2*dx-(2x+1)*e^(2x)
und
h(x.y) = y^2*dx-(2x+1)*e^(2x)
ist

5.) Nun wie oben gesagt partiell ableiten
g(x,y) partiell abgeleitet nach y = 2y
h(x,y) partiell abgeleitet nach x = 2y

6.) Nun ist gezeigt, dass 2y = 2y ist (vgl. oben das fette)

(Wir hatten das bestimmt nicht, da man hier partiell ableiten muss und das ja erst bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen drankommt)