Bombentrichter
Archiv => 7./8. Semester => Vorlesungen/Übungen 7./8. Semester => Topic started by: n-w on April 22, 2008, 01:55:34 pm
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Hallo Leute,
kann zufällig mal jemand eine fertige Simulation vom Auto reinstellen? Ich habs noch nichtmal hinbekommen, das der Wagen richtig hochläuft (in 6s oder so?) - braucht bei mir immer ewig. Nur find ich leider den Fehler nicht. Wär super, wenn jmd helfen könnt. Danke :flower:
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Die Werte sind jetzt noch nicht genau eingestellt ;-)
-die Kennlinie ist nicht unbedingt mit Realitätsbezug -> Punkte noch ändern
-die Trägheit braucht eine Anfangswinkelgeschwindigkeit (sonst läuft der Motor nicht! Drehzahllücke, deswegen Anlasser notwendig).
Die Lizenz für ITI Simulation X ist für die Studentenversion kostenlos.
Fahren 2 ist mit einer Rutsch-Automatik (3 Gänge)
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ITI S.. ist keine Freeware. Kostet also für die geschäftliche Nutzung richtig Geld.
Die Leute sitzten in der Webergasse in Dresden ;-)
ITI S.. setzt auf Modelica, eine modellbeschreibende Sprache und Simulationumgebung auf, davon gibt es eine Freie (OSMC!=GPL) Version unter:
http://www.ida.liu.se/labs/pelab/modelica/OpenModelica.html
Da frag ich mich natürlich, warum unsere Uni nicht soetwas für die Allgemeinheit entwickelt, anstatt die marktbeherrschenden Firmen indirekt zu mästen ;-)
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> restart;
Exakte analytische Lösung:
> GL:=M_G+J*diff(phi(t),t,t)=0;
> M_G:=m*g*l*phi(t);
> J:=m*l^2;
> RB:={phi(0)=phi_0,D(phi)(0)=0};
> LSG:=dsolve({GL} union RB,phi(t));
> eval(LSG,{g=l,phi_0=0.5});
> restart;
Numerische Lösung:
> G1:=D_phi´/D_t=omega´;
> G2:=D_omega´/D_t+g/l*phi´=0;
> D_t:=0.025:
> imax:=1000:
> t_max:=imax*D_t:
> phi:=array(0..imax):omega:=array(0..imax):
> D_phi´:=phi[k+1]-phi[k]:
> D_omega´:=omega[k+1]-omega[k]:
> phi´:=phi[k]:
> omega´:=omega[k]:
> GG1:=isolate(G1,phi[k+1]);
> GG2:=isolate(G2,omega[k+1]);
> g:=l:
> phi[0]:=0.5:
> omega[0]:=0:
> LG1:=(eval(GG1,k=k-1));
> LG2:=eval(GG2,k=k-1);
> for i from 1 by 1 to 1000 do k:=i;assign(LG1);
> assign(LG2) end do:
> plot({phi[t/D_t],cos(t)*0.5},t=0..t_max);
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[latex]
{\bf 1.Modellschritt=Skizze}
[/latex]
(http://www.free-engineering.org/bombe/skizze_pendel.png)
[latex]
{\bf2.Modellschritt=Zielstellung}\\
-gesucht ist $\phi(t)$=Schnittgrößen-Zeit-Funktion\\
[/latex]
[latex]
{\bf 3.Modellschritt=Voraussetzungen/Bedingungen}\\
-Punktmasse m\\
-masseloses Seil\\
-kleine Auslenkung $\phi$\\
-keine Dämpfung (weder vom Seil-Werkstoff noch vom Wind)\\
{\it Hinweis: das Seil wird hier als biegestarr angesehen und die Länge l ist der Abstand zwischen Drehgelenk und Schwerpunkt der Masse}
[/latex]
[latex]
{\bf 4.Modellschritt=Reaktionsanalytik}\\
-Pendeln erst nach Auslenkung um den Winkel $\phi$ aus der Ruhelage infolge äußerer Kräfte/ Momente\\
-Es wirken nur die Schwerkraft $F_G$ und die Rückstellkraft $F_R$\\
-Gleichgewicht:
\begin{eqnarray*}
F_R&=&F_G \cdot \sin\phi\\
F_G&=&m\cdot g\\
F_R&=&m\cdot g \cdot \sin \phi\\
M_R&=&F_R \cdot l\\
M_R&=&m\cdot g \cdot l \cdot \sin\phi\\
\phi \ll 0.13 &\rightarrow& \sin(\phi) \approx \phi \\
M_R&=&m\cdot g \cdot l \cdot \phi
\end{eqnarray*}
{\it \small Achtung!! Im strengen Sinne liegt bei etwa $8^{\circ}$ die Grenze, um den Sinus durch das Argument zu ersetzen (siehe Reihenwentwicklung der Sinusfunktion)}\\
-Bewegungsgleichung: \\
$M_R$ das durch die Rückstellkraft erzeugte Moment\\
$J$ das Trägheitsmoment der Punktmasse
\begin{eqnarray*}
M_R+J\cdot \ddot{\phi} &=&0\\
J&=&m \cdot l^2\\
m\cdot g \cdot l \cdot \phi+m \cdot l^2\cdot \ddot{\phi}&=&0\\
g \cdot \phi + l \cdot \ddot{\phi}&=&0\\
\ddot{\phi}+\frac{g}{l}\phi&=&0 \rightarrow \mbox{ homogene lineare DGL 2. Ordnung ($1$)}\\
\end{eqnarray*}
[/latex]
[latex]
{\bf 5.Modellschritt=Lösung}\\
a) exakte Lösung über Ansatz $\phi=e^{\lambda\cdot t}$
\begin{eqnarray*}
\ddot{\phi}=\lambda^2\cdot e^{\lambda\cdot t}&=&\lambda^2\cdot \phi\\
\lambda^2\cdot \phi+\frac{g}{l} \phi&=&0 \rightarrow \mbox{ homogene lineare DGL 2. Ordnung ($1^{*}$)}\\
\chi: \lambda^2+\frac{g}{l}&=&0 \rightarrow \mbox{ charakteristische Gleichung der DGL}\\
LSG(\chi):&=&\Bigg\{\begin{array}{rl}
\lambda_{1}=&+i \sqrt{\frac{g}{l}}\\
\lambda_{2}=&-i \sqrt{\frac{g}{l}}\\
\end{array}\Bigg\} \mbox{ (konjugiert komplexe Lösung)}\\
LSG(DGL): \phi(t)&=&{\cal C}_1 \cdot e^{+i \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t} +{\cal C}_2 \cdot e^{-i \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t}\\
&&\mbox{...eine Menge Mathe...}\\
\phi(t)&=&\frac{\dot{\phi}(t=t_0)}{\sqrt{g/l}}\sin(\sqrt{g/l})+\phi(t=t_0)\cdot \cos(\sqrt{g/l}\cdot t)\\
\end{eqnarray*}
b) numerische Lösung\\
-Differentialquotienten durch Differenzenquotienten erstzen\\
\begin{equation*}
\dot{\phi}=\omega \rightarrow \dot{\omega}+\frac{g}{l}\phi=0 \rightarrow \mbox{ DGL 1.Ordnung}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dot{\phi}\cong \frac{\Delta \phi}{\Delta t}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dot{\omega}=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\frac{\Delta \phi}{\Delta t} &=\omega\\
\frac{\Delta \omega}{\Delta t}+\frac{g}{l}\phi&=0\\
\end{array}\Bigg\} (3)
\end{equation*}
Mittels $(3)$ kann $\phi(t)$ ausgehend von $\phi(t=t_0)$ berechnet werden indem äquivalente Zeitpunkte uns Schrittweiten gelten.
\begin{equation*}
t_0=0; t_1=\Delta t; t_2=2\cdot \Delta t ;... t_k=k\cdot \Delta t; t_{k+1}=(k+1)\cdot \Delta t \mbox{ $(4)$}
\end{equation*}
aus $(3)$ und $(4)$ folgt:\\
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\frac{\phi(t_{k+1})-\phi(t_k)}{\Delta t} &=\omega(t_k)\\
\frac{\omega(t_{k+1})-\omega(t_k)}{\Delta t}+\frac{g}{l}\phi(t_k})&=0\\
\end{array}\Bigg\} (3^{*})
\end{equation*}
$\rightarrow$ Umformen nach der Reihenfolge der Ereignisse:\\
\begin{equation*}
\begin{array}{rl}
\phi(t_{k+1})&=\phi(t_k)+ \omega(t_k) \cdot \Delta t \\
\omega(t_{k+1})&=\omega(t_k)-\Delta t \frac{g}{l}\phi(t_k})
\end{array} \Bigg\} (3^{**})\mbox{ iterative numerische Lösung}
\end{equation*}
[/latex]
[latex]
{\bf 6.Modellschritt=Parametrierung}\\
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
l=9.81m & g=9.81\frac{m}{s^2}\\
\phi(t=t_0)=0.5rad& \dot{\phi}(t=t_0)=0\\
\Delta t=0.05s \frac{g}{l}=1 \\
\end{array}
\end{equation*}
[/latex]
[latex]
{\bf 7.Modellschritt=Zahlenrechnug}\\
a) Exakte Lösung:\\
\begin{equation*}
\phi(t)=0.5\cos(t)
\end{equation*}
b) Numerische Lösung
[/latex]
(http://www.free-engineering.org/bombe/plot.jpg)
[latex]
{\bf 8.Modellschritt=Validierung}\\
Bei Vergleich der Ergebnisse fällt auf, dass im Numerischen Modell je nach Schrittweite $\Delta t$ die Amplitude über den Wert der Ausgangs-Auslenkung liegt und sich im Laufe der Rechenschritte noch erhöht (Stabilität!!)
Das widerspricht dem Energie-Erhaltungssatz (Lösung=nur teilweise plausibel)
{\it Hinweis: Im Normalfall wäre hier meiner Meinung nach Runge-Kutta oder ein ähnliches Verfahren, vielleicht sogar mit Schrittweiten-Anpassung sinnvoll.}
[/latex]
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Hihi weils so schön war die DGL mit Modelica:
class Pendel
Real phi(start=0.5);
Real omega ;
Real alpha;
equation
der(phi)=omega;
der(omega)=alpha;
alpha+phi=0;
end Pendel;
simulate(Pendel,stopTime=10)
Das Ergebnis Pendel_res.plt lässt sich mit gnuplot betrachten.
..und hier mit MAXIMA
DESOLVE(DIFF(PHI(t),t,2)+g/l*PHI(t)=0,PHI(t));
Is g l positive, negative, or zero?
positive
;(D2) PHI(t) =
!
2 SQRT(g l) t d !
l SIN(-----------) (-- (PHI(t))! )
l dt !
!t = 0 SQRT(g l) t
--------------------------------------- + PHI(0) l COS(-----------)
SQRT(g l) l
-------------------------------------------------------------------
l
(C3)
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Ist jemand an der Lösung für den Hydraulik-Kreis interessiert?
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MKS
[latex]
\begin{itemize}
\item Mechanisches Ersatzsystem aus einer endlichen Anzahl starrer Körper
\item Verknüpfung über passive mechanische Elemente (masselos, Feder, Kupplung, Reibstellen) oder über aktive mechanische Elemente (Stellantrieb)
\item Zwangsbedingungen: kinematische Bindungen, Freiheitsgrade, Lager, Führungen, Gelenke
\item Auf die Körper wirken äußere Kräfte
\end{itemize}
(konservative Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen)\\
[/latex]
Freiheitsgrade
[latex]
N-Anzahl starrer Körper\\
r-Anzahl der Zwangsbedingungen\\
f,n-Anzahl der Freiheitsgrade\\
\begin{eqnarray*}
f&=&6 \cdot N - r \mbox{ (im Raum)}\\
f&=&3 \cdot N -r \mbox{ (in der Ebene)}
\end{eqnarray*}
[/latex]
Beispiel zu den Freiheitsgraden
(http://www.free-engineering.org/bombe/skizze_freiheitsgrade.png)
[latex]
Gleichung für die Ebene:\\
N=3\\
Die Gelenke haben jeweils den Freiheitgrad 1 (Rotation) und daher je 2 Zwangsbedingungen\\
$n=3 \cdot 3 - (4 \cdot 2) =1\\\\\\
[/latex]
Die Lagrange Methoden:
[latex]
-virtuelle Arbeit: $\sum \underbrace{F_i}_{\mbox{\small{äußere Kräfte}}} \cdot \underbrace{\delta r_i}_{\mbox{\small{gedachte Lageänderung}}}=0$\\
$\rightarrow$die Gesamtarbeit im System ist $0$.\\
Lagrange 2\\
$\delta r_i$ -Die zeitunabhängige differentielle Größen müssen mit\\
$r_i$ - kinematische Zwangsbedingungen vereinbar sein.\\
-Generalisierte Koordinate:\\
$r_i$ -freie Koordinate $\rightarrow$ $q_i$ -generalisierte Koordinate für die Gesamtbilanz\\
-Jacobimatrix (J):\\
\begin{eqnarray*}
dx&=&J(q)dq\\
\dot{x}&=&J(\dot{q})\\
\dot{\phi}&=&J(\dot{q})\\
\end{eqnarray*}
Grundformel\\
\begin{large}
\begin{equation*}\frac{d}{dt}\Bigg(\frac{\delta T}{\delta \dot{q}_k}\Bigg)-\frac{\delta T}{\delta q_k}=Q_k
\end{equation*}
\end{large}
$T$-kinetische Energie\\
$Q_k$-generalisierte Kraft/ Moment\\
\begin{equation*}
Q_k=-\frac{\delta U}{\delta q_k}
\end{equation*}
$U$-potentielle Energie\\
\begin{equation*}
T=\frac{1}{2}\sum(v_i^T \cdot v_i \cdot m_i + \omega_i^T \cdot R_i \cdot I_i \cdot R_i^T \cdot \omega_i)
\end{equation*}
$v_i$-Geschwindigkeit der Masse $m-I$\\
$\omega_i$-Winkelgeschwindigkeit des Trägheitsmomentes $I_i$\\
$I_i$-Trägheitsmoment bezüglich des lokalen Koordinatensystems $KS_i$\\
$R_i \cdot I_i \cdot R_i^T$--Trägheitsmoment bezüglich des globalen Koordinatensystems $KS_0$\\
$R_i$-Drehmatrix\\
\begin{equation*}
T=\frac{1}{2}\dot{q}^T H(q)\cdot \dot{q}
\end{equation*}
$H(q)$-Massenmatrix (abhängig von den generalisierten Koordinaten)\\
\begin{equation*}
H(q)=\sum (\underbrace{m_i \cdot J_{t,i}^T \cdot J_{t,i}}_{translatorisch}+\underbrace{J_{r,i}^T \cdot R_i \cdot I_i \cdot R_i^T \cdot J_{r,i}}_{rotatorisch})
\end{equation*}
[/latex]
Bewegungsgleichung:
[latex]
\begin{eqnarray*}
\underbrace{H(q) \ddot{q}}_{\equiv m\cdot a}+ \underbrace{C(\dot{q},q)}_{Corioliskraft}&=&Q\\
C_{i,j,k}&=&\frac{\delta H_{i,j}(q)}{\delta q_k}-\frac{1}{2}\frac{\delta H_{j,k}}{\delta q_i}
\end{eqnarray*}\\
[/latex]
Schema/ Kochrezept
[latex]
\begin{enumerate}
\item Wahl geeigneter generalisierter Koordinaten
\item Beschreibung der kinematischen Zusammenhänge
\item Berechnung der kinetischen und potentiellen Energie
\item Berechnung der generalisierten Kräfte/ Momente $Q_k$
\item Aufstellen der Bewegungsgleichung
\item Numerisches Lösen
\end{enumerate}
[/latex]
-
Hier wird am Beispiel der Formalismus durchexerziert
(http://www.free-engineering.org/bombe/bruecke.png)
[latex]
Schritt1: Finden der generalisierten Koordinaten\\
\begin{eqnarray*}
S_1&=&\left[\begin{array}{c}x_1\\y_1\end{array}\right]\\
S_2&=&\left[\begin{array}{c}x_2\\y_2\end{array}\right]\\
q&=&\left[\begin{array}{c}x\\ \phi\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
$S_i$ Massenschwerpunkt\\
[/latex]
[latex]
Schritt2: Beschreiben der kinematischen Zusammenhänge\\
\begin{eqnarray*}
x_1&=&x\\
y_1&=&0\\
x_2&=&x+l \sin \phi\\
y_2&=&-l \cos \phi
\end{eqnarray*}\\
[/latex]
[latex]
Schritt3: Berechnung der kinetischen und der potentiellen Energie\\
Jacobimatrix und Massenmatrix
\begin{eqnarray*}
J_k&=&\frac{\delta x_k}{\delta q}=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{\delta x_1}{\delta q_1} & \frac{\delta x_1}{\delta q_2}& \dots \frac{\delta x_1}{\delta q_n} \\
\frac{\delta y_1}{\delta q_1} & \frac{\delta y_1}{\delta q_2}& \dots \frac{\delta y_1}{\delta q_n} \\
\end{array}\right]\\
J_1&=&\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 &0\end{array}\right]\\
J_2&=&\left[\begin{array}{cc}1 & l \cos \phi \\ 0 & l \sin \phi \end{array}\right]\\
H(q)&=&\sum(m_i \cdot J_{t,i}^T \cdot J_{t,i}) \mbox{ nur Massenpunkte!}\\
J_{t,1}^T \cdot J_{t,1}&=&\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 &0\end{array}\right]\\
\end{eqnarray*}\\
Falksches Schema zur Berechnung des Matrizenproduktes:\\ \\
\begin{array}{cc|cc}
J_{t,2}^T \cdot J_{t,2}&&1& l \cos \phi\\
&& 0 &l \sin \phi\\
\hline
1 &0&1 & l \cos \phi\\
l \cos \phi & l \sin \phi &l \cos \phi & l^2\\
\end{array}\\
Massenmatrix:\\
$H(q)=H_1+H_2=m_1\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 &0\end{array}\right]+m_2\left[\begin{array}{cc}
1 & l \cos \phi\\l \cos \phi & l^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
m_1+m_2 & m_2 \cdot l \cos \phi\\m_2 \cdot l \cos \phi &m_2 \cdot l^2\end{array}\right]$\\
\begin{eqnarray*}
T&=&\frac{1}{2}\dot{q}^T\cdot H(q) \cdot \dot{q}\\
\dot{q}&=&\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{\phi}\end{array}\right]\\
\dot{q}^T&=&\left[\begin{array}{cc}\dot{x}&\dot{\phi}\end{array}\right]\\
\end{eqnarray*}
Falksches Schema:\\
\begin{small}
\begin{array}{cc|cc|c}
2T&&m_1+m_2 & m_2\cdot l \cos \phi&\dot{x}\\
&&m_2\cdot l \cos \phi &m_2\cdot l^2&\dot{\phi}\\
\hline
\dot{x}&\dot{\phi}&\dot{x}(m_1+m_2)+\dot{\phi}\m_2l\cos\phi& \dot{x}m_2l\cos\phi+\dot{\phi}m_2l^2
&\dot{x}^2(m_1+m_2)+\dot{x}\dot{\phi}m_2l\cos\phi+\dot{x}\dot{\phi}m_2l\cos\phi+\dot{\phi}^2m_2l^2\\
\end{array}\\
\end{small}
\begin{eqnarray*}
T&=&\frac{1}{2}[\dot{x}^2(m_1+m_2)+\dot{x}\dot{\phi}m_2l\cos\phi+\dot{x}\dot{\phi}m_2l\cos\phi+\dot{\phi}^2m_2l^2]\\
U_G&=&m_2\cdot g \cdot y_2 \mbox{ Potential der Schwerkraft}\\
U_F&=&\frac{1}{2}c(x-u)^2 \mbox{ Potential der Feder}\\
\end{eqnarray*}\\
[/latex]
[latex]
Schritt 4: Berechnung der generalisierten Kräfte und Momente\\
\begin{eqnarray*}
Q_1&=&\frac{\delta U}{\delta x}=-c(x-u)\\
Q_2&=&\frac{\delta U}{\delta \phi}=-m_2\cdot l \cdot g \cdot \sin\phi\\
\end{eqnarray*}\\
[/latex]
[latex]
Schritt 5: Aufstellen der Bewegungsgleichung\\
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}\Bigg(\frac{\delta T}{\delta \dot{q}_k}\Bigg)-\frac{\delta T}{\delta q_k}-Q_k&=&0\\
\mbox{für $x,\dot{x}$:}\\
(m_1+m_2)\ddot{x}+(m_2l\cos\phi)\ddot{\phi}-(m_2l\sin\phi)\dot{\phi}^2+c(x-u)&=&0\\
\mbox{für $\phi,\dot{\phi}$:}\\
(m_2l\cos\phi)\ddot{x}+m_2l^2\ddot{\phi}&=&0\\
\end{eqnarray*}
[/latex]
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1) Finite-Differenzenverfahren (sehr einfach aber ungenau)
http://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Differenzen-Methode
2) Euler-Verfahren (einfach etwas genauer)
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersches_Polygonzugverfahren
3) Runge-Kutta RK (Einschrittverfahren)
http://de.wikipedia.org/wiki/Runge-Kutta
http://de.wikipedia.org/wiki/Klassisches_Runge-Kutta-Verfahren
4.1) Runge-Kutta-Fehlberg RKF45 (adaptives Mehrschrittverfahren) Vergleich RK4 mit RK5
4.2) Prediktorenverfahren
http://de.wikipedia.org/wiki/Mehrschrittverfahren
Allgemein:
Rundungsfehler sinkt mit größerer Schrittweite
Näherungsfehler steigt mit größerer Schrittweite
->Optimum finden
http://de.wikipedia.org/wiki/Numerische_Differentiation
--------------------------------------------------------------------------
http://de.wikipedia.org/wiki/A-Stabilit%C3%A4t
http://de.wikipedia.org/wiki/BDF-Verfahren
Anbei pdf mit Vergleich anhand einer einfachen AWA
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[latex]
\section*{A)Vorgänge am Einzel-Meißel }
Modell: Lösevorgang der Fräswalze=Summe der Lösewirkungen der Einzelmeißel im Eingriff.\\
Annahmen:\\
-Jeder Meißel löst seinen Spanquerschnitt vollständig.\\
-Der Lösevorgang beginnt und endet mit dem Kontakt zwischen Meißel und dem (gewachsenen) Stoff.\\
Skizze zur Funktion:
[/latex]
(http://www.free-engineering.org/bombe/CMS-Skizze-Funktion.png)
(http://www.free-engineering.org/bombe/CMS-Skizze-KOS.png)
[latex]
\subsection*{Beschreibung der Koordinaten P}
Die Gesamtbewegung setzt sich aus der Überlagerung der Drehbewegung der Walze mit $\omega$ und der Fahrbewegung mit $v_F$ zusammen. Deswegen ist es möglich, die Bewegung innerhalb eines körpereigenen Koordinatensystems KOS2 (x'',y'',z''), das sich mit $\omega$ um die Achse $z'$ eines KOS1 (x',y',z'), welches sich mit $v_F$ im Weltkoordinatensystem WKOS (x,y,z) bewegt, zu beschreiben.
Im Körpereigenem bewegten Koordinatensystem KOS1:\\
$P_{KOS2}:=\left( \begin{array}{c} r_S\\0\\ 0\\ \end{array}\right)$\\
$P_{KOS1}:=R_{z'}\cdot P_{KOS2}$\\
$P_{KOS1}:=\left( \begin{array}{c} r_S\cdot cos(\alpha+\phi)\\ -r_S\cdot sin(\alpha+\phi)\\ 0\\ \end{array}\right)$\\
In Weltkoordinaten WKOS(x,y,z):\\
$P_{WKOS}:=A0_{WKOS}+v_F\cdot t \left( \begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)+R_{z'}\cdot P_{KOS1}$\\
$P_{WKOS}:=\left( \begin{array}{c} x_0\\ r_S\\ 0\\ \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} v_F\cdot t\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} r_S\cdot cos(\alpha+\phi)\\ -r_S\cdot sin(\alpha+\phi)\\ 0\\ \end{array}\right)$\\
$P_{WKOS}:=\left( \begin{array}{c} x_0+v_F \cdot t+ r_S\cdot cos(\alpha+\omega \cdot t)\\ r_S(1-sin(\alpha+\omega \cdot t))\\ 0\\ \end{array}\right)$\\
\begin{tabular}{ll}
$A0:=\left( \begin{array}{c} x_0\\ r_S\\ 0\\ \end{array}\right)$ &Anfangsverschiebung zwischen KOS1 und WKOS\\
$\omega$ &Rotationsgeschwindigkeit der Walze\\
$v_F$ &Translationsgeschwindigkeit\\
$\phi:=\omega \cdot t$ &Drehwinkel ausgehend von der Anfangsverdrehung $\alpha$\\
$r_S$ &Abstand Drehpunkt-Meißelspitze\\
$R_{z'}$& Drehmatrix für Drehung um $z'$\\
$t$ &Zeit\\
\end{tabular}
[/latex]
[latex]
\subsection*{Geschwindigkeit in P}
Aus den Koordinaten von $P(x,y,z)$ läßt sich die Geschwindigkeit ermitteln:\\
$v:=\frac{d}{dt}P_{WKOS}=v_F \left( \begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)+\frac{d}{dt}R_{z'}\cdot P_{KOS1}$\\
$v:=\left( \begin{array}{c} \dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{z}\\ \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{c} v_F\\0 \\ 0\\ \end{array}\right) -\omega\cdot r_S \left( \begin{array}{c}sin(\alpha+\omega \cdot t)\\ cos(\alpha+\omega \cdot t))\\ 0\\ \end{array}\right)$\\
somit ergibt sich für den Betrag der Geschwindigkeit:\\
$v_R:=|v|=\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{[v_F-\omega\cdot r_S\cdot sin(\alpha+\omega \cdot t)]^2+[-\omega \cdot r_S\cdot cos(\alpha+\omega \cdot t)]^2}$\\
mit $\epsilon:=\alpha+\omega \cdot t$ wird daraus:\\
$v_R:=\sqrt{[v_F-\omega\cdot r_S\cdot sin(\epsilon)]^2+[\omega \cdot r_S\cdot cos(\epsilon)]^2}$\\
unter Auspotenzieren und Ausklammern von $\omega \cdot r_S$ entsteht:\\
$v_R:=\sqrt{v_{F}^{2}-2\cdot v_{F} \cdot \omega\cdot r_S\cdot sin(\epsilon) +[sin(\epsilon)^2+cos(\epsilon)^2][\omega\cdot r_S]^2}$\\
$v_R:=\omega\cdot r_S \sqrt{\left(\frac{v_{F}}{\omega\cdot r_S}\right)^{2}-2 \left(\frac{v_{F}}{\omega\cdot r_S}\right) sin(\epsilon) +1}$\\
wir defineren: $\kappa:=\left(\frac{v_{F}}{\omega\cdot r_S}\right)$ als Verhältnis zwischen Fahr- und Umfangsgeschwindigkeit\\
$v_R:=\omega\cdot r_S \sqrt{\kappa^{2}-2 \kappa \cdot sin(\epsilon) +1}$\\
Skizze zur Kinematik im Punkt P:
[/latex]
(http://www.free-engineering.org/bombe/CMS-Skizze-Kinematik.png)
-
CODE mit BUG zum selberfinden ;-)
> restart;
> with(LinearAlgebra):
> P_KOS2:=;
> Rz:=1*Matrix([[cos(phi),-sin(phi),0],[sin(phi),cos(phi),0],[0,0,1]]):
> P_KOS1:=Rz.P_KOS2:
> P_WKOS:=a0++P_KOS1:
> r_S:=1:a0:=<0,r_S,0>:
> phi:=alpha+omega*t:
> v_F:=1:omega:=5:
> P_WKOS;
> t:=tau/100:
> s:=seq([P_WKOS[1],P_WKOS[2]],tau=0..40):
> kreis:=[seq([r_S*cos(phi/10),r_S+r_S*sin(phi/10)],phi=-20..10)]:
> s1:=[eval(s,alpha=0)]:s2:=[eval(s,alpha=0.7)]:
> plot({s1,s2,kreis},color=[red,blue,black]);
Plot des Sichelschnittes (mit fehlerfreiem CODE erzeugt;-)):
(http://www.free-engineering.org/bombe/Zykloide.png)
-
Hallo,
Ich mache eine Lerngruppe für Modellbildung/Simulation auf.
Ziel:
1.) Durchgehen des Formalismus
2.) Beispiele aus der Vorlesung
Ort:
Uni
Wer will noch daran teilnehmen?
PM an mich!
-
Hat schon mal jemand den Fragebogen ausgefüllt?
Ich hab gar keine Lust, das alles auswendig zu lernen. :cry:
-
Musst du auch nicht, wir sind ja alle ein bisschen faul.
Mit einer Menge Logik/ Systematik und physikalisch/ mathematischen Geschick ist alles "relativ" leicht herleitbar. ;-)
-
Simples Modell Rad mit Durchmesser D.R, welches eine Nabe mit D.N besitzt. Der Kraftfluss geht über Nabe auf das Rad und von dort auf die Schiene. In der Momentenbilanz um die Nabe ergibt sich als treibendes Moment das Produkt aus D.R/2*F.W. F.W ist hierbei die Wagenkraft. Als Momente die der Bewegung entgegenwirken werden das durch den exentrischen Kraftangriff (Hebelarm f der Rollreibung) im Rollpunkt (I) hervorgerufene Moment und das Reibmoment in der Nabe (Lager) identifiziert. Ziel der Betrachtung ist eine Formel in der eine lineare Abhängigkeit zwischen F.W und F.Rad (Radlast) besteht.
[latex]
$F_W:=\alpha_W \cdot F_{Rad}$\\
$F_W \cdot d_{Rad}/2-M_{Reibung,Nabe}-M_{Exzentrizitaet}=0$ Momentenbilanz\\
$M_{Reibung,Nabe}:=\mu_{Lager} \cdot d_{Nabe}/2 \cdot F_{Rad}$\\
$M_{Exzentrizität}:=f \cdot F_{Rad}$\\
$F_W \cdot d_{Rad}/2:=\mu_{Lager} \cdot d_{Nabe}/2 \cdot F_{Rad}+f \cdot F_{Rad}$\\
$\alpha_W:=F_W/ F_{Rad}$\\
$\alpha_W:=(\mu_{Lager} \cdot d_{Nabe}/2+f)/(d_{Rad}/2)$\\
$\alpha_W:=(\mu_{Lager} \cdot d_{Nabe}+2f)/d_{Rad}$\\
[/latex]
Anbei eine Skizze die Verformung ist natürlich stark überhöht!
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Ich hab für diesen Widerstandsbeiwert [latex] $\alpha_W$ [/latex] mit den Werten die Prof Kunze in der Vorlesung ausgab 0,0009 berechnet, er damals jedoch 0,008.
Hat jemand ne Erklärung für diese Diskrepanz?
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Mein Beispiel ist genau für ein Rad,
Wenn du 4 Räder hast, dann soll lt Kunze sich der Widerstandsbeiwert vervierfachen.
Wenn die Formeln gleich sind???
[latex]
Original-Kunze:\\
$w:=\frac{2}{d_{Ra}}(f+\frac{\mu_{L}\cdot d_{L}}{2})$\\
$d_{L}:=80mm$\\
$d_{Ra}:=558mm$\\
$f:=0.005mm$\\
$\mu_{L}:=0.0015$\\
$w:=\frac{2}{588mm}(0.005mm+\frac{0.0015 \cdot 80mm}{2})$\\
$w:=$0.00022\\
$4w:=0.00088$\\
[/latex]
Ergo!
Erklärung: Simple Wiedergabe nicht selbst gerechneter Daten!
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Hier mal mein Ansatz
1.
a) Modellskizze anfertigen
b) Zielstellung notieren: Was soll simuliert werden?
c) Modellbedingungen aufstellen: d. h. Kräfte und Momente antragen, Vereinfachungen treffen
d) Parameterbestimmung
2.
Ich würde das anders als in der Vorlesung lösen: Kräfte für Roll- und Lagerreibung mit jeweiligem Reibbeiwert antragen. Die resultierende aus beiden Kräften wäre bei mir die Bewegungswiderstandskraft.
D. h. Verzicht auf M.L, stattdessen gleich eine Lagerreibkraft. Kommt ja das Selbe raus.
3.
Ich würde als Bremskraft erstmal die Differenz der zwei Seilzugkräfte annehmen. Wenn wir jetzt die Reibung auf den Rollen vernachlässigen, würde sich das Moment aus Durchmesser der Rolle, besagter Kräftedifferenz und eventuell Übersetzung ergeben. Das ist aber zu einfach?
In der VL gabs ja Widerstände der Seilstützrollen und nicht erfassbare Einflüsse. Kann man ja hier mehr oder weniger vernachlässigen, nicht?
??? M=0,5d*(F.1-F.2)???
4.
Ein oder zwei Antriebe?
In der Vorlesung haben wir keine Beschleunigung bestimmt, oder?
5.
Fliehkraft = Schwerkraft ist erstmal klar und einfach herzuleiten.
Wurfparabel siehe Vorlesung, ich habs aber nicht verstanden.
6.
Ich geh mal vom Bagger aus. Mit Greifarm. Kinematische Kette. Jeder Hydraulikzylinder müsste ja einerseits eine Feder, andererseits eine Kraft darstellen.
Wie weit entwickelt man das Modell?? Nur Skizze, oder auch Kräfte/Gleichungen/Parameter?!
7.
Druckaufbau-Gleichung
Bewegungsgleichung für An- und Abtrieb
nochwas?
8.
a) Geht man davon aus, dass hier ein Panzer mit zwei Ketten durch Frankreich fährt, so muss der doch einfach nur eine Kette schneller laufen lassen, um abzubiegen. Das ist ja kein Lenkmoment.
Also ist das kein Panzer, sondern eine Straßenfräße, die jeweils zwei parallele, gleichlaufende Ketten hintereinander hat, und wie ein Radlader lenkt? Dann steht da was im Buch vom Herrn Professor.
Was betrachtet ihr als lineare positive Lastverteilung? Eine lineare Masseverteilung mit unsymmetrischem Maximum? D. h. einfach unsymmetrischer Schwerpunkt der Gewichtskraft?
Andere Herangehensweisen?
b) Ganz einfach. Lagerreaktionen bestimmen und um Schwerpunkt drehen. Kippkräfte müssen kleiner Standkräfte sein.
Anhang:
Panzerlenkung aus Prof. Kunzes Buch. Es kommt aber doch kein normaler Mensch auf die Idee, darüber nachzudenken, was der Panzer so für Erde durch die Gegend schiebt, wenn er mal rechts abbiegt?! Glaube nicht, dass das hier gemeint ist.
-
zu8)
Noch einfacher: S125:
nimm eine Panzerkette und den Krümmungsmittelpunkt der Kurve. Zieh gedanklich von jedem Kettenelement eine Linie zu diesem Mittelpunkt. Trage darauf in jedem Kettenelement senkrecht die Richtung der Umfangsgeschwindigkeit an. Trage dazu in entgegengestzter Richtung die Widerstandskraft/ Reibung an und zerlege diese in Kräfte senkrecht und parallel zur Kette. Die parallelen Kräfte kompensiert der Fahrantrieb und die senkrechten die Lager ;-)
-
zu7)
Helduser-Spezialformeln:
1) Drosselgleichung
2) Druckaufbau
3) Massenerhaltung ->Volumenstromerhaltung (Kompression vernachl.)
4) Dynamisches Kräftegleichgewicht
[latex]
$
\Delta \sigma:=\Delta \epsilon \cdot E\\
\Delta F_D:=\Delta \sigma \cdot A\\
\Delta F_p:=\Delta p \cdot A\\
\Delta F_p=\Delta F_D\\
\Delta \epsilon \cdot E=\Delta p\\
\Delta \epsilon=\frac{\Delta V}{V}\\
\Delta p=\frac{\Delta V}{V}\\
dp:=\frac{dV}{V}\\
\dot{p}=\frac{\dot{V}}{V}\\
\dot{p}:=\frac{1}{V}\sum{\dot{V}_{i}}\\
$
[/latex]
-
zu6)
Rein Mechanistische Lösung
als "Art einer Übersetzung"
Siehe Weiter oben Lagrange, aber einfacher.
-
Annahme:
lineare Funktion ;-)
-
Lenkanteile nur aus schub quer zur Kette!
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da hat er meiner meinung nach was anderes gemeint..
schau mal vo 4 blatt 1
Problemspezifikation
---->Modellbildung
-------->Implementierung
------------>Validierung
---------------->simulationsberechnung
-------------------->ergebnispräsentation
würde eher das für frage 1 nehmen
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Da hast Du vollkommen recht!
Simulationsstudie<=>Simulation ;-)
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Becherwerk allgemeine Herleitung. Prof hatte meiner Meinung nach nicht alles erklärt. Und die Skizze war etwas ungünstig, FR steht nicht senkrecht auf r!!!
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Prüfung am Mo, 5.DS in GER 38 mit allen Unterlagen.
Kann das jemand bestätigen? :innocent:
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14:50 -16:20
Aber das mit den Unterlagen???
ich dachte ohne???
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Wenn unser Herr Professor "mit allen Unterlagen" gesagt hätte, würde das ganz groß und rot in meinem Hefter stehen. Schließlich spart sowas das lästige Spickzettel schreiben! Da steht aber leider nichts:cry: . Oder gibt es noch andere Informationsquellen als die Vorlesung?
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moin, bin gerade beim lernen bei der 1. frage angekommen:
ich würde da die simulationsschritte aus unseren anfangsbeispielen hinschreiben:
1. Skizze-Fkt-prinzip
2. Zielsetzung
3. Modellbedingungen/Vereinfachungen
4. Reaktionsgleichungn
5. lösen der Gleichungen
6. Parametierung
7. Zahlenrechnung
8. Validierung/Verifikation
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@TimTaylor: Wie gesagt, es wird zwischen Simulationsanalyse und Modellbildung/Modellierung unterschieden ;-) Deine Antwort sind die Modellierungsschritte.
@n-w: Ganz Deiner Meinung, normalerweise ohne Unterlagen. Hast du das jetzt mit dem Becherwerk komplett verstanden, oder soll ich da noch einen Schritt weiter gehen?
@alle, soll ich nocheinmal irgendwas per Zettel vorrechen?
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Vielen Dank nochmal an Prüfi! :flower:
Und allen viel Erfolg bei der Prüfung!
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Hier auf Anfrage die Herleitung vom Tilger-System, kann mir aber nicht vorstellen, das soetwas für die Prüfung von Belang ist. Scheint mir ziemlich komplizert und zu speziell. Besser wäre es hier das System mithilfe der Systemtheorie (MAT2) zu modellieren und zu schauen, wie es bei bestimmten Eingangsfunktionen reagiert. Außerdem scheint es mir (ich mag dabei auch völlig falsch liegen) sehr gewagt, so leicht begründet von einem eingeschwungenen Zustand auszugehen. Andererseits ist selbst für den eingeschwungenen Zustand der Ansatz [latex]x:=A\sin (\Omega t)[/latex] nicht exakt. Denn dass würde heißen, dass die Massen im Gleichtakt schwingen. Das tun sie aber definitiv nicht, denn es gibt je nach Eigenfrequenz eine Phasenverschiebung und damit eine Schwebung (siehe Physik: gekoppeltes Pendel unter Zwangserregung). ;-)
Das ganze kam nämlich davon her, wie man die Schwinung eines Baggers reduzieren kann. Ergebnis war, dass man die Schaufel über den Hydrozylinder in unterschiedlicher Stellung (=Federrate) als Tilger angekoppelt hat.
Es wäre übrigens ein schönes Beispiel für Working Model 2D ;-)
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@prüfi
so wie ich das verstehe hast du am anfang ein einmassen schwinger mit der eigenkreisfrequenz omega. dummerweise ist die erregerkreisfrequenz OMEGA gleich der Eigenkreisfrequenz omega --- OMEGA=omega.
deshalb baust du dir einen Tilger ein. Daher auch der Ansatz die Massen einzeln zu betrachten.
wenn das der fall ist kannst du natürlich auch x=A*sin(OMEGA) als lösung nehmen.
und damit kannst du dir dan ausrechnen wie du den Tilger abstimmen musst (c/m auswählen) damit er dir die große Amplitude der Resonanz "wegtilgt".
und es komt raus (oWunder) der Tilger wird auf die Eigenkreisfrequenz des Einmassenschwingers abgestimmt. OMEGA^2=lamda2^2=omega^2
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Noten sind raus! :D
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Habe mal eine Frage. In der ersten Übung bekamen wir die Info, dass in der letzten Übung ein Test geschrieben wird, welcher wohl mit 30 % in die Prüfungsnote eingehen soll (soll wohl schon ein paar Jahre so gehandhabt werden). Allerdings hat ein Kommilitone im Vorjahr wirklich eine sehr gute Note in dem Fach erreicht, von solch einem Test wusste er aber nichts. Geschrieben hat er nur die Prüfung und war zur letzten Übung aufgrund Krankheit nicht da. Das passt doch irgendwie nicht zusammen? Hat einer mehr Infos dazu?
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Ein Test? Ne, vor zwei Jahren gab es auf jeden Fall keinen Test.
Bist du sicher, dass du das richtige Fach meinst? - Also "Modellbildung und Simulation mechanisch-elektrischer Antriebssysteme" bei Prof. Schlecht (Übung: Dr. Rosenlöcher). Weder auf der Homepage selbst, noch in der Übersicht der Übungstermine ist die Rede von einem Test.
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Nein, dieses Fach meine ich nicht. Aber ich weiß, dass die zwei Fächer fast gleich klingen. Sind ja hier auch im Thema "Modellbildung und Simulation (Kunze)" mit 4 SWS. Dieses Fach meine ich aus der Vertiefung Land- und Offroadmaschinen. Gehalten wird die VL von Frau Dr. Gubsch. Frau Dr. Gubsch erwähnte den Test?
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Hallo,
ich möchte auch eine Frage an diejenigen stellen, die die Klausur schon geschrieben haben.
Frau Dr. Gubsch war so nett und hat uns Vorbereitungsfragen ins OPAL geladen.
Die Fragen sind meiner Meinung nach schon ziemlich spezifisch formuliert, daher denke ich dass sie auch so in der Klausur drankommen werden.
Kann mir das jemand so bestätigen? Wie ist es in den vorhergehenden Jahrgängen gelaufen?:whistling:
LG Leo