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Fernstudium / Problem bei Ü2.1.9
« on: October 20, 2008, 02:14:41 am »
Hallo,
da ja bis jetzt noch keine Lerngruppen existieren, versuche ich es mal hier. Ich bin gerade dabei, die erste Konsultation zu 'verarbeiten'. Zu diesem Zweck habe ich mir die vorgeschlagenen Übungsaufgaben zu 'Matrizen, Determinanten, LGS' vorgenommen. Jedoch bin ich auf ein Problem gestossen. In Ü2.1.9 soll aus folgender Matrix
[latex]
\[
\mathbf{A} = \left(
\begin{array}{cc}
\cos \varphi & -\sin \varphi \\
\sin \varphi & \cos \varphi \\
\end{array} \right)
\]
[/latex]
[latex]
$\mathbf{A}^n \mbox{ für }n \geq 0 \mbox{ und } n \in \mathbf{N}$
[/latex] berechnet werden.
Die Lösung soll lauten:
[latex]
\[
\mathbf{A}^n = \left(
\begin{array}{cc}
\cos n \varphi & -\sin n \varphi \\
\sin n \varphi & \cos n \varphi \\
\end{array} \right)
\]
[/latex]
Ich habe das für [latex]n=2[/latex] durchgerechnet, und habe das richtige Ergebnis raus, aber wie kann ich nun aus dem speziellen Fall [latex]n=2[/latex] auf den allgemeinen Fall für [latex]\mathbf{A}^n[/latex] schließen?
Für sachdienliche Hinweise wäre ich dankbar.
Gruß ... Lars
€dit: Ich habe nun, mit dem Wissen, dass A die allgemeine zweidimensionale Drehmatrix ist (was auch immer das heissen mag), eine logische Herleitung gefunden:
Eine Drehung um [latex]$\varphi$[/latex], [latex]n$[/latex]-mal ausgeführt, also [latex]$\mathbf{A}^n$[/latex] ist das gleiche, wie einmal um [latex]$n\varphi$[/latex] gedreht. Also: [latex]\left[\mathbf{A}(\varphi)\right]^n = \mathbf{A}(n \varphi)[/latex]. So weit, so gut... aber wie kann ich das formal herleiten?
da ja bis jetzt noch keine Lerngruppen existieren, versuche ich es mal hier. Ich bin gerade dabei, die erste Konsultation zu 'verarbeiten'. Zu diesem Zweck habe ich mir die vorgeschlagenen Übungsaufgaben zu 'Matrizen, Determinanten, LGS' vorgenommen. Jedoch bin ich auf ein Problem gestossen. In Ü2.1.9 soll aus folgender Matrix
[latex]
\[
\mathbf{A} = \left(
\begin{array}{cc}
\cos \varphi & -\sin \varphi \\
\sin \varphi & \cos \varphi \\
\end{array} \right)
\]
[/latex]
[latex]
$\mathbf{A}^n \mbox{ für }n \geq 0 \mbox{ und } n \in \mathbf{N}$
[/latex] berechnet werden.
Die Lösung soll lauten:
[latex]
\[
\mathbf{A}^n = \left(
\begin{array}{cc}
\cos n \varphi & -\sin n \varphi \\
\sin n \varphi & \cos n \varphi \\
\end{array} \right)
\]
[/latex]
Ich habe das für [latex]n=2[/latex] durchgerechnet, und habe das richtige Ergebnis raus, aber wie kann ich nun aus dem speziellen Fall [latex]n=2[/latex] auf den allgemeinen Fall für [latex]\mathbf{A}^n[/latex] schließen?
Für sachdienliche Hinweise wäre ich dankbar.
Gruß ... Lars
€dit: Ich habe nun, mit dem Wissen, dass A die allgemeine zweidimensionale Drehmatrix ist (was auch immer das heissen mag), eine logische Herleitung gefunden:
Eine Drehung um [latex]$\varphi$[/latex], [latex]n$[/latex]-mal ausgeführt, also [latex]$\mathbf{A}^n$[/latex] ist das gleiche, wie einmal um [latex]$n\varphi$[/latex] gedreht. Also: [latex]\left[\mathbf{A}(\varphi)\right]^n = \mathbf{A}(n \varphi)[/latex]. So weit, so gut... aber wie kann ich das formal herleiten?