Author Topic: Aufgabe 22.6 a) beta (Read 15540 times)

André 8 · « **Reply #15 on:** December 10, 2009, 07:14:23 pm »

Danke für Dein Angebot,

aber mit Eurer Hilfe hatte ich den richtigen Ansatz und konnte den Rest lösen.

Aber mit dem Aufgabentyp 22.7 d) habe ich noch Probleme.
Es ist ein Vektorfeld gegeben, welches nur zwei Variable aufweist, die zugehörigen Anfangs- und Endpunkte sind Vektoren mit 3 Variablen.

1. rot = 0 geht nur über Kreuzprodukt (fehlt eine Variable)
2. Parametrisierung über drei Variable, Vektorfeld hat aber nur 2.

Von der Logik hätte ich einfach die dritte Komponente/ Variable = 0 gesetzt und damit gerechnet.
Ergebnis = falsch

MFG
André

Hägar · « **Reply #16 on:** December 10, 2009, 07:18:56 pm »

Da ich kein Übungsheft habe, müsstest du mal die Aufgabenstellung abtippen...

André 8 · « **Reply #17 on:** December 10, 2009, 07:58:10 pm »

Aufgabe
Integral von (x*e^y*dx-y*e^x*dy)
Integrationsweg
(0;1;2) bis (1;0;-1)

Mein Weg:
rot = 0

Ansatz
(e^y;e^x;0) x (x*e^y;y*e^x;0) = 0

Parametrisierung:
(0;1;2)+t*(1;-1;1)

Hägar · « **Reply #18 on:** December 10, 2009, 08:16:06 pm »

Quote from: André 8

Aufgabe
Integral von (x*e^y*dx-y*e^x*dy)
Integrationsweg
(0;1;2) bis (1;0;-1)

Mein Weg:
rot = 0

Ansatz
(e^y;e^x;0) x (x*e^y;y*e^x;0) = 0

Parametrisierung:
(0;1;2)+t*(1;-1;1)

Sorry, kann ich grad nicht nachvollziehen... Sind die e hier Basisvektoren oder eulersche Zahlen? Vermutlich letzteres.

Den Ansatz mit rot=0 kann ich auch nicht nachvollziehen. Ist das irgendwo als Hinweis gegeben? Aber rotationsfrei isses schonmal.

Im nächsten Schritt machst dann auch nicht rot, sondern gradV x V. Alles sehr merkwürdig.

André 8 · « **Reply #19 on:** December 10, 2009, 08:28:21 pm »

e sind eulersche zahlen und mit rot = 0 meine ich ich die Rotation des Vektorfeldes.
Wenn diese 0 ist, ist das Kurvenintegral des Gradientenfeldes wegunabhängig.
In der Aufgabe ist die Berechnung des Potentials verlangt, wenn vorhanden. Das Vorhandensein muss ich erst mit der Rotation beweisen.

Grad v X v ist meiner Kenntnis nach die Rotation.
Das steht zumindest so in meinen Unterlagen.

Hägar · « **Reply #20 on:** December 10, 2009, 08:36:34 pm »

rot(V) = nabla x V

Das mit dem Potentialfeld ist richtig. Integration löst dann durch einsetzen der Anfangs- und Endpunkte in die Potentialfunktion und Bilden der Differenz der beiden Potentiale. Musst mal schauen, wie du an die Potentialfunktion rankommst... Parametrisierung brauchst in diesem Fall jedenfalls nicht.
Aber zur Not ist es natürlich auch auf dem klassischen Weg mit Parametriesierung und lösen des Kurvenintegrals möglich. So lange die Integrale nicht zu kompliziert werden...

Der elegantere Weg führt natürlich über die Potentialfunktion.

Saimat · « **Reply #21 on:** December 10, 2009, 08:49:56 pm »

(0;1;2)+t*(1;-1;-3)

Mit der Kurve kommst du nach (1,0,-1). Entweder du hast dich verschrieben, oder das ist wahrscheinlich der Fehler.

André 8 · « **Reply #22 on:** December 10, 2009, 08:54:05 pm »

grad v oder nabla v ist doch das Gleiche nur eine andere Schreibweise oder?
In der Lösung steht, dass kein Potential existiert. rot nicht = 0
Damit muss ich doch automatisch über Parametrisierung gehen.

Nun ist mein Problem, dass ich nicht weiß wie man rot bei zwei Komponenten ausrechnet (Kreuzprodukt erfordert immer drei Vektorkomponenten).
Und wie ich mit der dritten Komponente beim Parametrisieren umgehen soll.
Durch die Parametrisierung entsteht eine Komponente neben x und y (da angegebene Vektoren drei Komponenten haben) nämlich z. Das z kommt aber in der Gleichung nicht vor. Wie baue ich den dritten Parameter (t) in die Gleichung ein?

Hägar · « **Reply #23 on:** December 10, 2009, 09:16:18 pm »

Oh ja. Hab ich mich doch glatt bei der Ableitung der e-funktion vertan. Also rot V = (0, 0 , -y*e^x - x*e^y) -> nicht rotationsfrei und damit kein Potentialfeld.

Deshalb musst du die Aufgabe wie gewohnt über das Arbeitsintegral lösen. Ohne rot, nur mit Parametrisierung.

p.s.
grad v = nabla v
div v = nabla * v
rot v = nabla x v

nabla = (d/dx, d/dy ,d/dz)

André 8 · « **Reply #24 on:** December 10, 2009, 09:30:02 pm »

Also ist der Ansatz richtig?
3. Komponente von Vektor und Nabla = 0 setzen und ausrechnen.

Da komme ich nämlich auf (0;0;e^y*y*e^x-e^x*x*e^y)

Parameter:
x(t) = t; dx = dt
y(t) = 1-t; dy = -dt
z(t) = 2-3*t; dz = -3*dt
Und für das Integral habe ich:
t*e^(1-t)*dt - ((1-t)*e^t)*(-dt) + (2-3t)*(-3)*dt

Da kommt aber nicht das Richtige raus.

Das nervt kann ich Dir sagen.

Hägar · « **Reply #25 on:** December 10, 2009, 09:34:13 pm »

Nein, der Ansatz ist falsch.

Das hier ist rot... http://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_(Mathematik)
Das wendest du auf dein Vektorfeld an, und dann siehst du, dass da nicht 0 rauskommt.

Hägar · « **Reply #26 on:** December 10, 2009, 09:42:20 pm »

Quote from: André 8

Und für das Integral habe ich:
t*e^(1-t)*dt - ((1-t)*e^t)*(-dt) + (2-3t)*(-3)*dt

Was kommt raus, wenn du beim Integral
t*e^(1-t)*dt + ((1-t)*e^t)*dt
einsetzt? ...vorausgesetzt deine Parametrisierung stimmt.

André 8 · « **Reply #27 on:** December 10, 2009, 09:44:23 pm »

Übrigends DANKE Saimat,

dass Du mich auf den Fehler aufmerksam gemacht hast. Aber mein Ergebnis stimmt trotzdem nicht. Ist der Weg so richtig?

MFG
André

André 8 · « **Reply #28 on:** December 10, 2009, 10:06:19 pm »

Das passt auch nicht.

Ich habe hier schon 6 DIN A4 Seiten voll.

Vom Ansatz lässt man praktisch den dritten Parameter einfach weg, da dieser keinen Einfluss auf das Vektorfeld hat!?

Kommt ja nicht in der Gleichung vor.

Hägar · « **Reply #29 on:** December 10, 2009, 10:17:13 pm »

Quote from: André 8

Das passt auch nicht.

Ich habe hier schon 6 DIN A4 Seiten voll.

Vom Ansatz lässt man praktisch den dritten Parameter einfach weg, da dieser keinen Einfluss auf das Vektorfeld hat!?

Kommt ja nicht in der Gleichung vor.

Richtig, dritten Term weglassen. Habe da oben nochmal das Vorzeichen vor dem zweiten Term geändert. Es sollte eigentlich das Richtige bei rauskommen.