Torsionsstab

[n-w]

Hoffe mal, mir kann hier jemand helfen ...

Betrachtet man einen Torsionsstab, der um seine Achse pendelt, ergibt sich folgende DGL:

[latex]$\ddot{\phi} + \frac{J}{c}\cdot \phi = 0$[/latex]

Wenn ich die versuche zu lösen, komme ich auf lambda² = negativ ?!?!
Hat jemand eine Idee, was ich so falsch mache?

[Alex]

Hoffe mal, mir kann hier jemand helfen ...

Betrachtet man einen Torsionsstab, der um seine Achse pendelt, ergibt sich folgende DGL:

[latex]$\ddot{\phi} + \frac{J}{c}\cdot \phi = 0$[/latex]

Wenn ich die versuche zu lösen, komme ich auf lambda² = negativ ?!?!
Hat jemand eine Idee, was ich so falsch mache?

In der Gleichung ist ein Fehler

[latex]
aus $J\cdot\ddot{\phi}+c\cdot \phi=0$ wird dann $\ddot{\phi} + \frac{c}{J}\cdot \phi = 0$[/latex]

MfG Alex

[n-w]

Stimmt, hab ich geträumt Danke für den Tipp!

[latex] $ \phi = cos(\sqrt{\frac{c}{J}}t) + sin(\sqrt{\frac{c}{J}}t)$

der Spaß abgelitten macht

$ \dot{ \phi} = \sqrt{\frac{c}{J}} (cos(\sqrt{\frac{c}{J}}t) - sin(\sqrt{\frac{c}{J}}t))$

aber laut Übung:

$\dot{\phi^2} = \omega^2 = \frac{c}{J}$

[/latex]

Frage: Was ist mit sin, cos passiert?

[Hägar]

sin^2 + cos^2 = 1 bestimmt sowas in der Richtung. Ja, so ist es. Nagut, war so einfach doch nicht.

[7005-alloyed]

du hast deine DGL:
[latex]
 $\ddot{\phi} + \frac{c}{J}\cdot \phi = 0$
[/latex]
und der Faktor vor dem [latex] \phi [/latex] entspricht [latex] \omega_0^2 [/latex]

Damit ergibt sich folgende DGL:
[latex]  $\ddot{\phi} + \omega_0^2 \phi = 0$ [/latex]

und deshalb ist [latex] \omega_0^2 = \frac{c}{J} [/latex]


Wenn du die DGL nun lösen willst bekommst du eine Gleichung [latex] \phi (t) [/latex]

Weiteres ableiten ergibt dann die Winkelgeschwindigkeiten in Abhängigkeit der Zeit sowie die Winkelbeschleunigung in Abhängigkeit der Zeit.

Willst du nur die Periodendauer oder das Trägheitsmoment bestimmen kannst du dies über die Beziehung
[latex] \omega_0^2 = \frac{c}{J} = \frac{4 {\pi}^2}{T_0^2} [/latex]
lösen.

Viel Erfolg

[n-w]

[latex]
Das  $\omega_0$ muss doch eigentlich wo her kommen?!

Bzw. wenn ich $\dot \phi (t)$ bestimme, sollte das doch gleich dem $\omega$ sein, oder?

$\dot \phi (t) = \sqrt{\frac{c}{J}} [cos( \sqrt{\frac{c}{J}} \cdot t) - sin( \sqrt{\frac{c}{J}} \cdot t)]$

quadriert man das mal eben, ergibt sich:


$\dot \phi (t)^2 =\frac{c}{J} [1 + cos( \sqrt{\frac{c}{J}} \cdot t) \cdot sin( \sqrt{\frac{c}{J}} \cdot t)]$

Einwände?

Wenn jetzt noch der cos*sin - Term wegfallen würde, wäre es gleich $\omega^2 = \frac{c}{J}$.

Aber geht irgendwie nicht so ganz?! [/latex]

:wallbash:

[Hägar]

Ja, Einwand.

-2*cos*sin

aber ändert nix an deinem Problem.

[DIGIT]

[latex]
Das  $\omega_0$ muss doch eigentlich wo her kommen?!

Bzw. wenn ich $\dot \phi (t)$ bestimme, sollte das doch gleich dem $\omega$ sein, oder?

$\dot \phi (t) = \sqrt{\frac{c}{J}} [cos( \sqrt{\frac{c}{J}} \cdot t) - sin( \sqrt{\frac{c}{J}} \cdot t)]$

quadriert man das mal eben, ergibt sich:


$\dot \phi (t)^2 =\frac{c}{J} [1 + cos( \sqrt{\frac{c}{J}} \cdot t) \cdot sin( \sqrt{\frac{c}{J}} \cdot t)]$

Einwände?

Wenn jetzt noch der cos*sin - Term wegfallen würde, wäre es gleich $\omega^2 = \frac{c}{J}$.

Aber geht irgendwie nicht so ganz?! [/latex]

:wallbash:

Ups, da hat es Dich ein wenig vertragen.:w00t:

[latex] Richtig ist, dass man  $\dot \phi$ oft als $\omega(t)$ bezeichnet. Das hat aber mit der Konstante $\omega_0 $ nix zu tun - und deshalb kommt da halt etwas interessantes heraus, nämlich heiße Luft.
Und die Lösung wird nicht gerechnet, sondern aus der Tabelle abgeschrieben, je nach dem was Du für einen Schwinger hast (Pendel, Feder, Torsion, etc).
Charakteristische Größe ist jeweils das $\omega_0 $.
[/latex]
Grüße
DIGIT

PS: Irgendwas musst Du gegeben haben, also T oder J. cT kann man aus G und Ip ausrechnen.