Aufgabe 2.3 - Ansatzmöglichkeit ;-)

[Albertorenzo]

Tach zusammen!
 
Ich habe mich mal "intensiv" mit der Aufgabe 2.3 beschäftigt und bin beim Versuch die zu lösen auf folgenden Link gestoßen. Glaub das könnte die Unklarheiten von der Vorlesung TM vom 24.4.07 ein wenig beseitigen. Schauts euch am besten selbst an!
 
http://www.uni-magdeburg.de/ifme/l-festigkeit/pdf/ab_hauptspannungen3d.pdf
 
Um die Rechnung zu verstehen, guckt einfach mal in Binomi Seite 12.
 
Viel Erfolg!

[Nick]

In Mathematik hattet ihr das unter dem Titel "Hauptachsentransformation".

Fuer alle die damals sich fragten, wozu man das alles braucht. Scheint also doch nicht so sinnlos und unnoetig zu sein :w00t:

viel Erfolg

der Nick

[DIGIT]

In Mathematik [...] scheint also doch nicht so sinnlos und unnoetig zu sein :w00t:
der Nick

Wenn Du ein Zimmer ausmessen musst und Du Dein Koordinatensystem irgendwo schräg in den Raum legst, dann ist es kein Wunder, wenn man "krumme Formeln" handhaben muss.
 
Voll besetztes Gleichungssystem (mit voll besetzter Matrix) ist doof.
Voll besetzter Spannungstensor (mit Schubspannungen in den Nebenelementen) ist auch doof.
Voll besetzte Trägheitstensor (mit den Deviationsmomenten Ixy in den Nebenelementen) ist auch doof.
Da hängt alles von allem ab, alles ist durcheinander gemischt und das führ auf "unschöne" Formeln.
 
Also husch pfusch die zugrunde liegende Matrix in eine Diagonalmatrix transformiert, dann habe ich "schöne Richtungen", entkoppelte Gleichungen und schöne, einfache Formeln.
 
Das Paper oben beschreibt nix anderes als unsere allseits beliebte, wohlgeschätzte:w00t: Eigenwertfummelei.
Hilfreich eventuell: http://www.bombentrichter.de/showpost.php?p=67331&postcount=15
 
PS: 1
In vielen TM-Büchern ist der Zusammenhang nicht sofort ersichtlich, weil die Matrix mit Sigmas vollgefüllt ist - und der normalerweise mit lambda bezeichnete -Eigenwert - sinnigerweise ebenso mit Sigma bezeichnet wird und so eine Sigma-Schosse entsteht.
 
PS: 2
Mathe: Jede symmetrische Matrix ist zu einer Diagonalmatrix ähnlich, d.h. sie lässt sich (mit Eigenwerten und Eigenvektoren) auf eine Diagonalmatrix transformieren.
(Die Formeln in der TM-Sammlung sind nix anderes als "fertige" gerechnete EWs und EVs.)
 
Festigkeitslehre: Der Spannunstensor ist symmetrisch wegen der Gleichheit der zugeordneten Schubstpannungen tau_xy=tau_yx. Analog Ixy=Iyx
 
Heureka! Diagonalisieren! Entkoppeln!
 
Grüße
DIGIT
:limes_0:

[Jule]

Wieso nehm ich von dem Gleichungssystem mit den Spannungen und Normalenvektorkomponenten die Determinante und setz sie =0? Hat das einen logischen Hintergrund?

Und wenn ich den jeweiligen Normalenvektor berechnen will, nutze ich ja auch das Gleichungssystem mit den Spannungen und diese Quadratbeziehung. Aber durch die Quadrate komm ich ja dann auf 2 mögliche Lösungen für die Komponenten, jeweils mit negativem und positivem Vorzeichen. Woher weiß ich dann, welche richtig ist, also in welche Richtung die Hauptspannung zeigt? Oder sind beide Varianten richtig?

[Bommis]

Ich bin mir da auch nicht so sicher und will jetzt nichts falsches erzählen, aber so wie ich das verstanden habe, suchst du ja mit Hilfe der Determinante nach den Hauptspannungen. Die Spannungen hängen ja vom Schnittwinkel ab, und es gibt einen Winkel, bei dem dann die Spannungen einen maximalen Wert annehmen. Das sind dann die Hauptspannungen.
 
Nun sind Spannungen ja Vektoren. Wenn du die größte Spannung suchst, suchst du also nach der Spannung, die den "längsten Pfeil" hat. Weil du ja schon  Spannungsvektoren gegeben hast, die nicht maximal sind, kannst du mit Hilfe der Determinante der 3 gegeben Spannungsvektoren die Eigenvektoren bestimmen. Diese haben ja keine andere Richtung, sondern nur einen anderen Betrag, und somit sind das dann die gesuchten Hauptspannungen. Davon kann es auch mehrere geben, deswegen müssten beide Lösungen deiner quadratischen Gleichung Hauptspannung sein. Das hatte wiederum mit dem Schnittwinkel zu tun, weil der über den tangens gebildet wird, und dieser mit Pi periodisch ist, es also 2 Lösungen dafür gibt.
 
Ob das so stimmt, weiß ich wie gesagt auch nicht genau, aber klingt ganz logisch finde ich :wacko:

[Jule]

Danke. Aber mir ist nicht ganz klar, warum man von dem Gleichungssystem mit den Spannungen die Determinante bildet und Null setzt. Dass das so stimmt, wird schon sein, aber warum? Hier wurde ja schon die Mathematik erwähnt, aber ich war froh, das halbwegs anwenden zu können, das hatte keinen Hintergrund. Und damit dann auf TM überleiten, das ist dann erst recht unklar :huh::rolleyes:

Mit den Vorzeichen waren die Normalenvektoren gemeint. Also mal ganz allgemein, woher weiß ich, ob (1,2,-3) oder (-1,-2,3) richtig ist? Sind halt zwei entgegengesetzte Richtungen, deswegen können ja eigentlich nicht beide Lösungen stimmen. Praktisch wäre es dann ja einmal Zug- und einmal Druckspannung und das ist schon ein Unterschied. Oder verstehe ich das komplett falsch?

[Bommis]

Hm...Also wenn du Eigenwerte bestimmen wolltest, sah das ja immer so aus
 
Ax = bE
 
Wie gesagt, wird bei einem Eigenvektor nur die Länge, nicht aber die Richtung geändert. Die Hauptspannungen haben noch ein anderes Merkmal, dass ich nicht erwähnt hatte. Sind die Spannungen nämlich maximal, dann gibt es keine Schubspannungen, die sind 0.
 
Wenn du jetzt in die obige Gleichung den Mechanikkrams einsetzt, sieht das so aus:
 
Spannungstensor * Richtungen der Spannungen = Faktor, mit dem die Spannungen multipliziert werden müssen, damit sie maximal werden * Einheitsmatrix.
 
Den Faktor b möchtest du wissen. Dazu ziehst du bE auf die andere Seite
 
(A-bE)x = 0 steht dann da. Das ändert die Hauptdiagonale deines Spannungstensors, deswegen steht da auch immer Sigma x - Sigma. Das Sigma ohne Index hat da also die Rolle von b.
 
Weil du ja aber durch dieses Eigenwertproblem nicht die Richtung des Vektors änderst, und somit die Schubspannungen uninteressant sind und den Vektor nicht beeinflussen, muss der Faktor b der Faktor sein, zudem die maximale Spannung gehört.
 
Mit den Normalspannungen weiß ich gerade leider nicht genau, was du meinst..

[Jule]

Naja z.B. habe ich für die 60MPa das LGS mit
nz = -ny und
2nx - ny = 0.
Dazu nx² + ny² + nz² = 1.
Damit komme ich dann auf ny = Wurzel(4/9). Ist da ny nun 2/3 oder -2/3 bzw. woher weiß ich, dass -2/3 richtig sind (siehe Lösung)?

[Bommis]

Ja, gute Frage. Also es sind ja schon 2 verschiedene Dinge....
 
Aus mathematischer Sicht ist es ja egal, welche Werte du einsetzt. Und wenn man das physikalisch betrachtet, sucht man ja nach den größten Spannungen. Wer verbietet denn, dass es die einmal in Zug und 1 mal in Druck Richtung gibt? Also möglicherweise sind beide dann maximal. Wüsst ich sonst aber auch nicht.

[Jule]

(A-bE)x = 0 steht dann da.

Aja und steht auch irgendwo, dass wenn det(A-bE) = 0, dass dann mit jedem beliebigen x (A-bE)x = 0 gilt?

Wer verbietet denn, dass es die einmal in Zug und 1 mal in Druck Richtung gibt?

Würden beide Richtungen richtig sein, würden sich ja die Spannungen in ihrer Wirkung aufheben, oder? Weil man geht ja mit z.B. 60MPa in das Gleichungssystem. 60MPa in die eine und 60MPa in die andere Richtung macht 0.

[DIGIT]

Leute Achtung!
Kleine Korrektur zu Bommis!
 
Bommis Beiträge sind fast richtig, aber die Grundphilosophie der Eigenwerte ist:
Matrix mal Vektor = Skalar * (gleicher) Vektor
A*x = lambda *x (dabei, wie oben: x=EV, lambda=EW)
A*x = b*E*x (nach Nomenklatur von Bommis, mit b als EW, x als EV, und nicht A*x=E*b)
Dann, siehe Bommis, rechte Seite mit der Einheitsmatrix multipliziert, rechte Seite nach links und den Vektor x herausgehoben:
(A-lambda*E)x = 0 (mit 0 als Nullvektor).
 
Die Determinante von (A-lambda*E) ist das charakteristische Polynom und das muss null sein.
 
Warum zur Hölle?
x Äpfel und 3y Birnen sind Null (und)
2x Äpfel und 2y Birnen sind Null.
 
Was kommt als x und y raus ?
Beidemale Null.
 
Was nütz uns das?
Nix.
Weil Matrix mal Nullvektor = irgendein Skalar auch mal Nullvektor; also Null = Null und wir sind so schlau als wie zuvor.
Null kann ein EW sein, aber der Nullvektor ist per Definition kein EV!!
 
Was wir brauchen sind nicht triviale Lösungen, und die gibt es nur dann, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix null ist.
Die Determinante ist Null für die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und das, das sind genau unsere gesuchten Eigenwerte.
 
Wenn ich aber die gefundenen EWs in das Gleichungssystem
Ax = lambda*x wiederum einsetze dann weiß ich (aus dem Berechnungsschritt für die EWs) dass es dafür keine eindeutige Lösung geben kann
 
So sieht das aus
x Äpfel und 3y Birnen sind Null (und)
2x Äpfel und 6y Birnen sind Null.
Also hab ich -3 mal soviel Äpfel wie Birnen.
Mehr kann ich daraus nicht herauslesen.
Und wenn ich die Birnen als 1 wähle(!!!), dann hab ich -3 Äpfel, also ist ein geeignet gewählter EV zu lambda = (-3,1).
 
Wollte mich kurzfassen...:w00t:
Grüße
DIGIT
:limes_0:
 
 

Aja und steht auch irgendwo, dass wenn det(A-bE) = 0, dass dann mit jedem beliebigen x (A-bE)x = 0 gilt?

Nein, nicht ganz. Du musst für jeden EW Deine EVs extra bestimmen, wie hoffentlich hier gut gezeigt.
Die Schosse geht aber weiter, weil Du kannst mehrfache EWs (Nullstellen) haben, komplexe EWs usw. und musst Dir auch dafür Deine EVs zu den EWs zusammenbasteln.
In der Mechanik ist das (erstmals) aber wurscht, aber Papa Grossmann kommt in Kürze mit diesem wundersamen Thema wieder auf Euch zu...

[Nick]

Hallo Jule und Bommis,

die Problematik der Eigenwerte kann auch einer Formelsammlung entnommen werden. Das angefuehrte Gleichungssystem (A -bE)x = 0 ist genau das Eigenwertproblem zur Matrix A. Dieses System hat nur nichttriviale (also von NULL verschiedene) Loesungen, wenn die Koeffizientendeterminante NULL ist.
Somit loest man vorerst det(A-bE) = 0!

So bekommt man die Eigenwerte b. Diese in das Ausgangsproblem eingesetzt liefert ein bestimmtes Gleichungssystem fuer die noch unbekannten Eigenvektoren x:
b = b1 und b2  (bei einer 2x2 Matrix)
System 1:  (A -b1*E)x1 = 0    bringt schlussendlich den Eigenvektor x1 zum Eigenwert b1
System 2:   (A -b2*E)x2 = 0    bringt schlussendlich den Eigenvektor x2 zum Eigenwert b2

ACHTUNG: Die beiden Systeme sind stets unbestimmt, das heiszt, dass man es nie exakt loesen kann. Also waehlt beim Loesen einfach eine Vektorkomponente aus und behandelt sie wie einen gegebenen Parameter (setzt sie einfach gleich EINS; entspricht einer Normierung).

Die Eigenwerte sind in der TM zum Beispiel die Hauptspannungen. Im 2D Fall erhaelt man 2 Hauptwerte. Sie sind der Groesze nach zu ordnen und zwar absteigend (die Groeszte ist sigma1 usw.). Die Eigenvektoren, die mit dem entsprechenden Hauptwert berechnet werden, sind die dazu gehoerigen Richtungen. Also Hauptspannung1 (b1) zeigt dann in Richtung x1. Eine Richtung hat ein Vorzeichen. Schneidet man den Hauptspannungszustand an einem inkrementell kleinen Volumenelement frei, dann zeigt die Hauptspannung an einer Flaeche in eine Richtung, an der gegenueberliegenden Flaeche in die andere Richtung. Das Vorzeichen ist demnach zu waehlen.
Allerdings hierbei VORSICHT: Nicht alle Richtungen kann man frei waehlen. Die drei Richtungen ergeben am Ende ein Koordinatensystem und das muss ein RECHTSsystem sein. Also im 3D Fall koennt ihr zwei Richtungen waehlen, die dritte Richtung muss der Rechten-Hand-Regel gerecht werden; also bildet das Kreuzprodukt aus den schon gewaehlten Richtungsvektoren.

Noch Fragen???
Dann her damit

beste Gruesze
der Nick

[Nick]

Auch nicht sooo wild

1.) Im Hauptspannungssystem gibt es nur Normalspannungen!
2.) Im 3D Fall hab ich 3 Hauptspannungen (der Groesze nach geordnet)!
3.) Ich suche nun die Ebene, wo die Differenz der Hauptwerte maximal ist (das ist die 1-3-Ebene bzw. 2-konstant)!
4.) Ich betrachte diese Ebene nun extra: Koordinatensystem x=> 1  und y=> 3
5.) Drehe ich dieses Koordinatensystem nun, verlasse ich den Hauptachsenzustand und bekomme wieder Schubkomponenten rein. Transformationsformeln fuer gedrehte Koordinatensysteme (FS.: Seite 7)!!!

tau_uv = - (sigma_1 - sigma_3)/2* sin(2*phi) + NULL* cos(2*phi)     ===>>> KEINE SCHUBKOMPONENTEN IM HAUPTSPANNUNGSZUSTAND

6.) Wann wird das hier maximal??? Wenn der sin(irgendwas) = 1 oder -1 !

7.) Das wars: Betragsbildung bringt:  tau_max = 1/2*(sigma_1 - sigma_3))

Weitere Fragen???
immernoch her damit :D

beste Gruesze